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本記事はGeminiの出力をプロンプト工学で整理した業務ドラフト（未検証）です。

令和5年度 ネットワークスペシャリスト試験 午前Ⅱ 問1 ハミング距離

ハミング距離と誤り検出・訂正能力の相関を問う問題です。公式への当てはめにより、確実に正答を導き出すプロセスが重要となります。

【問題】 4ビットのデータに3ビットの検査ビットを付加したハミング符号において、最小ハミング距離が3であるとき、誤り検出と誤り訂正に関する記述として、適切なものはどれか。

ア 1ビットの誤りを訂正でき、2ビットの誤りを検出できる。 イ 1ビットの誤りを訂正でき、誤り検出はできない。 ウ 2ビットの誤りを訂正でき、3ビットの誤りを検出できる。 エ 2ビットの誤りを訂正でき、誤り検出はできない。

【解説】 ハミング距離とは、同じ長さの2つの符号間で、対応する位置のビット値が異なる箇所の数です。符号理論において、最小ハミング距離 $d$ と誤り制御能力の間には以下の数理的関係が成立します。

1. 誤り検出可能数 ($E_{det}$) 受け取った符号が元の符号表にないことを判定できる最大ビット数は、次の式で表されます。 $$E_{det} = d – 1$$

2. 誤り訂正可能数 ($E_{cor}$) 誤った符号から最も近い（ハミング距離が最小の）正しい符号を一意に特定できる最大ビット数は、次の式で表されます。 $$E_{cor} = \lfloor \frac{d – 1}{2} \rfloor$$ ※ $\lfloor \dots \rfloor$ は床関数（小数点以下切り捨て）

本問では最小ハミング距離 $d = 3$ であるため、 $$E_{det} = 3 – 1 = 2$$ $$E_{cor} = \lfloor \frac{3 – 1}{2} \rfloor = 1$$ となり、「1ビットの誤り訂正」と「2ビットの誤り検出」が可能であることが導かれます。

graph TD
    D["最小ハミング距離 d=3"] --> Det["誤り検出能力: d-1"]
    D --> Cor["誤り訂正能力: d-1 / 2"]
    Det --> DetVal["2ビット"]
    Cor --> CorVal["1ビット"]

【選択肢の吟味】

【ポイント】

• 最小ハミング距離 $d$: 符号空間内で最も近い符号同士の距離。

• 検出の限界: $d-1$ ビット（距離が $d$ 離れていれば $d-1$ までは別の符号にならない）。

• 訂正の限界: $\lfloor (d-1)/2 \rfloor$ ビット（距離の中間点を超えない範囲）。