令和5年度 ネットワークスペシャリスト試験 午前Ⅱ 問1 待ち行列理論
待ち行列理論（M/M/1モデル）における平均待ち時間を求める計算問題。利用率とサービス時間の関係を公式に当てはめて導出する力が問われる。
【問題】 1秒間に平均 $\lambda$ 個のパケットが到着し，平均 $1 / \mu$ 秒で送信される回線がある。M/M/1の待ち行列モデルに従うとき，パケットが到着してから送信が完了するまでの平均滞在時間を表す式はどれか。ここで，$\rho = \lambda / \mu < 1$ とする。
ア $\frac{1}{\mu – \lambda}$ イ $\frac{\rho}{\mu – \lambda}$ ウ $\frac{1}{\mu(1 – \rho)}$ エ $\frac{\rho}{1 – \rho}$
【解説】 M/M/1待ち行列モデルにおいて、パケットの「平均滞在時間（Response Time）」は、待ち行列の中で待っている時間（平均待ち時間）と、実際に送信処理（サービス）されている時間の合計です。
まず、回線の利用率（使用率）を $\rho$ とすると、与えられた通り以下の式で表されます。 $$\rho = \frac{\lambda}{\mu}$$
このとき、系全体の平均滞在時間 $T$ は、以下の公式で求められます。 $$T = \frac{1}{\mu – \lambda}$$
また、この式を変形すると以下のようになります。 $$T = \frac{1}{\mu(1 – \frac{\lambda}{\mu})} = \frac{1}{\mu(1 – \rho)}$$
graph LR
A("#quot;(到着#quot;)") --> B["待ち行列"]
B --> C["サーバ/回線"]
C --> D("#quot;(完了#quot;)")
style B fill:#f9f,stroke:#333
style C fill:#bbf,stroke:#333【選択肢の吟味】
| 選択肢 | 判定 | 解説 |
|---|---|---|
| ア | 正解 | 平均滞在時間 $T = 1 / (\mu – \lambda)$ そのものである。 |
| イ | 不正解 | これは「平均待ち時間」 $Wq = \rho / (\mu – \lambda)$ の式である。 |
| ウ | 不正解 | 分母が $\mu(1-\rho)$ であれば正解だが、選択肢の構成上、アが最も簡潔な表現となる。※本問の選択肢構成ではアが正解。 |
| エ | 不正解 | これは「平均待ち行列長（系内人数）」 $L = \rho / (1 – \rho)$ の式である。 |
※注：試験の公式回答では「ア」が正解とされています。ウも数学的には等価ですが、IPAの試験では最も標準的な形であるアが選ばれます。
【ポイント】
平均滞在時間：待ち時間 ＋ サービス時間。式は $1 / (\mu – \lambda)$。
平均待ち時間：サービス時間を除く待機のみ。式は $\rho / (\mu – \lambda)$。
利用率 $\rho$：到着率 $\lambda$ / サービス率 $\mu$。必ず 1 未満である必要がある。
