MTBFとMTTRに基づくシステムの信頼度とアベイラビリティ（稼働率）の計算

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本記事はGeminiの出力をプロンプト工学で整理した業務ドラフト（未検証）です。

MTBFとMTTRに基づくシステムの信頼度とアベイラビリティ（稼働率）の計算

システムの安定性を示す指標であるアベイラビリティ（稼働率）は、平均故障間隔（MTBF）と平均修復時間（MTTR）の比率によって算出される。この計算は、冗長構成を取るシステムの信頼度設計の基礎となる、IPA午前Ⅱ試験で頻出の計算問題の中核である。

1. 信頼度指標の定義と背景

システムの安定性を評価する指標には「信頼度（Reliability）」と「アベイラビリティ（Availability/稼働率）」の2種類があり、IPA試験では両者の違いと計算方法が問われる。

信頼度（R: Reliability）

システムが一定時間故障せずに動き続ける確率を示す。時間経過に伴って確率が低下するのが一般的である。修復にかかる時間は考慮しない。

アベイラビリティ（A: Availability / 稼働率）

システムが必要な時に利用可能である確率を示す。これは、運用期間全体における稼働時間の割合として定義され、故障発生後の修復時間を考慮する。

MTBFとMTTRの役割

アベイラビリティ（A）を算出するための基本指標がMTBFとMTTRである。

  1. MTBF (Mean Time Between Failures)：平均故障間隔。システムが稼働してから次に故障が発生するまでの平均時間。この値が大きいほど、システムは信頼性が高い。

  2. MTTR (Mean Time To Repair)：平均修復時間。故障が発生してからシステムが完全に修復され、再び稼働状態に戻るまでの平均時間。この値が小さいほど、システムの保守性が高い。

2. アベイラビリティ（稼働率）の基本計算

アベイラビリティ（A）は、稼働している時間の割合を示すため、システムの稼働時間（MTBF）を、稼働時間（MTBF）と停止時間（MTTR）の合計で割ることで求められる。

$$ \text{アベイラビリティ} \, (A) = \frac{\text{MTBF}}{\text{MTBF} + \text{MTTR}} $$

例えば、MTBFが9900時間、MTTRが100時間であった場合、アベイラビリティは次のようになる。

$$ A = \frac{9900}{9900 + 100} = \frac{9900}{10000} = 0.99 $$ このシステムの稼働率は99%となる。

3. 複合システムにおける信頼度の計算

システムが複数の構成要素から成り立っている場合、全体の信頼度（R）やアベイラビリティ（A）は、各構成要素の接続形態（直列または並列）によって計算方法が異なる。

3.1. 直列システム（すべてが必須）

構成要素が直列に接続されている場合、いずれか一つでも故障するとシステム全体が停止する。全体の信頼度は、各コンポーネントの信頼度の積となる。

要素1の信頼度を $R_1$、要素2の信頼度を $R_2$ とするとき、全体の信頼度 $R_S$ は以下の式で計算される。

$$ R_S = R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n $$

（例）信頼度 0.9 のコンポーネントが2つ直列に接続されている場合: $R_S = 0.9 \times 0.9 = 0.81$

3.2. 並列システム（冗長化）

構成要素が並列に接続されている場合、これは冗長構成を意味し、すべての構成要素が同時に故障しない限りシステムは稼働し続ける。

全体の信頼度は、「全てのコンポーネントが同時に故障する確率」を1から引くことで求められる。要素 $i$ が故障する確率（不信頼度）を $1 – R_i$ とすると、全体の不信頼度はそれらの積となる。

$$ R_P = 1 – (1 – R_1) \times (1 – R_2) \times \dots \times (1 – R_n) $$

（例）信頼度 0.9 のコンポーネントが2つ並列に接続されている場合:

  1. 各要素の故障率: $1 – 0.9 = 0.1$

  2. 全体の故障率: $0.1 \times 0.1 = 0.01$

  3. 全体の信頼度 $R_P = 1 – 0.01 = 0.99$

直列システムに比べ、並列システムは大幅に信頼度を高めることができる（フォールトトレランス）。

4. 計算の要点まとめ

  • アベイラビリティ（稼働率）Aの計算:

    • $A = \frac{\text{MTBF}}{\text{MTBF} + \text{MTTR}}$

    • 故障せず動き続ける時間（MTBF）と、停止時間（MTTR）のバランスで決まる。

  • 直列システムの信頼度 $R_S$:

    • $R_S = R_1 \times R_2 \times \dots$

    • 乗算により、構成要素が増えるほど信頼度は必ず低下する。

  • 並列システムの信頼度 $R_P$:

    • $R_P = 1 – (\text{全要素の不信頼度の積})$

    • 冗長化により、全体の信頼度は構成要素単体よりも向上する。

graph TD
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    B["平均故障間隔|MTBF"]
    C["平均修復時間|MTTR"]
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    E["アベイラビリティ|稼働率 A"]
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    G["直列システム R_S"]
    H["並列システム R_P"]

    A --> B
    A --> C
    B --> D
    C --> D
    D --> E | A = MTBF / (MTBF + MTTR) |
    E --> F
    F --> G | R_S = R1 × R2 × ... |
    F --> H | R_P = 1 - (1-R1)×(1-R2)×... |
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