<h1 class="wp-block-heading">IPA午前Ⅱ：アムダールの法則を用いた性能向上率の計算</h1> <p>並列処理システムにおいて、逐次処理部分が全体性能向上を制約する限界を示すアムダールの法則の計算を解説する。</p> <p>本記事は<strong>Geminiの出力をプロンプト工学で整理した業務ドラフト（未検証）</strong>です。</p> <h2 class="wp-block-heading">背景</h2> <p>現代の計算機システムでは、単一プロセッサの性能向上だけでなく、複数のプロセッサやコアを同時に利用する並列処理によって全体の性能を向上させることが一般的です。しかし、処理全体が完全に並列化できるわけではなく、必ず並列化できない逐次処理部分が存在します。この逐次処理部分が、システム全体の性能向上に対して大きな制約となります。</p> <h2 class="wp-block-heading">アムダールの法則の定義と目的</h2> <p>アムダールの法則は、並列処理によってシステム全体の性能がどの程度向上するか、その理論的な限界を示す法則です。1967年にジーン・アムダールによって提唱されました。この法則は、処理全体の並列化可能な部分と並列化できない逐次処理部分の割合に着目し、後者の存在が高速化の可能性をどこまで制限するかを評価します。IPA午前Ⅱ試験では、この法則を用いて特定の条件下での性能向上率を算出させる問題が頻出します。</p> <h2 class="wp-block-heading">計算式と手順</h2> <p>アムダールの法則の計算式は以下の通りです。</p> <pre data-enlighter-language="generic">Speedup = 1 / ( (1 - P) + P / S ) </pre> <p>ここで、各記号は以下を表します。</p> <ul class="wp-block-list"> <li><p><code>Speedup</code>：システム全体の性能向上率</p></li> <li><p><code>P</code>：処理全体のうち、並列化可能な部分の割合（0 < P <= 1）</p></li> <li><p><code>S</code>：並列化される部分が単独で達成する高速化倍率（S >= 1）</p></li> </ul> <h3 class="wp-block-heading">計算手順</h3> <ol class="wp-block-list"> <li><p><strong>並列化可能な割合（P）を特定する。</strong></p></li> <li><p><strong>並列化部分の高速化倍率（S）を特定する。</strong></p></li> <li><p><strong>上記の式にPとSの値を代入し、Speedupを計算する。</strong></p></li> </ol> <h3 class="wp-block-heading">計算例</h3> <p>例として、ある処理の80%が並列化可能であり、並列化部分を4倍に高速化できる場合を考えます。</p> <ul class="wp-block-list"> <li><p>並列化可能な割合 <code>P = 0.8</code></p></li> <li><p>並列化部分の高速化倍率 <code>S = 4</code></p></li> </ul> <p>これらの値をアムダールの法則の式に代入します。</p> <pre data-enlighter-language="generic">Speedup = 1 / ( (1 - 0.8) + 0.8 / 4 ) = 1 / ( 0.2 + 0.2 ) = 1 / 0.4 = 2.5 </pre> <p>この計算結果から、システム全体の性能は2.5倍向上することがわかります。並列化できない20%の逐次処理部分が存在するため、並列処理部分を4倍に高速化しても、全体としては2.5倍の向上に留まることが示されています。</p> <div class="wp-block-merpress-mermaidjs diagram-source-mermaid"><pre class="mermaid"> graph TD A["システム全体の処理"] --> B{"処理の分割"} B -- 逐次処理 (1-P) --> C["逐次処理時間"] B -- 並列処理 (P) --> D["並列処理時間"] D -- S倍に高速化 --> E["高速化後の並列処理時間 (P/S)"] C & E --> F["高速化後の合計処理時間 = (1-P) + P/S"] A -- 処理時間 / F --> G["性能向上率 (Speedup)"] </pre></div> <h2 class="wp-block-heading">要点</h2> <ul class="wp-block-list"> <li><p>アムダールの法則は、並列処理によるシステム全体の性能向上限界を示す。</p></li> <li><p>性能向上率は、並列化可能な部分の割合（P）と並列化部分の高速化倍率（S）によって決定される。</p></li> <li><p>逐次処理部分（1-P）が存在するため、いくら並列化部分を高速化しても、無限に性能が向上することはない。</p></li> <li><p>Pが1（完全に並列化可能）でない限り、Sがどんなに大きくなってもSpeedupには上限がある。これは、逐次処理部分がボトルネックとなるためである。</p></li> </ul>

Speedup = 1 / ( (1 - P) + P / S )

Speedup = 1 / ( (1 - 0.8) + 0.8 / 4 )
        = 1 / ( 0.2 + 0.2 )
        = 1 / 0.4
        = 2.5

graph TD
    A["システム全体の処理"] --> B{"処理の分割"}
    B -- 逐次処理 (1-P) --> C["逐次処理時間"]
    B -- 並列処理 (P) --> D["並列処理時間"]
    D -- S倍に高速化 --> E["高速化後の並列処理時間 (P/S)"]
    C & E --> F["高速化後の合計処理時間 = (1-P) + P/S"]
    A -- 処理時間 / F --> G["性能向上率 (Speedup)"]