IPA午前Ⅱ: システムの稼働率計算（直列・並列システム）

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IPA午前Ⅱ: システムの稼働率計算（直列・並列システム）

システムの安定稼働を示す稼働率を、直列構成と並列構成における計算式を中心に解説します。

本記事はGeminiの出力をプロンプト工学で整理した業務ドラフト（未検証）です。

背景

現代のビジネスにおいて、情報システムは不可欠なインフラであり、その安定稼働は企業活動の継続に直結します。システムが故障なく稼働し続ける能力は「信頼性」として評価され、特にシステム全体の稼働状況を示す指標として「稼働率（Availability）」が重要視されます。稼働率は、システムが利用可能な状態にある時間の割合を示し、システムの設計や運用計画において中心的な評価基準となります。

問題点

複数のコンポーネントで構成される複雑なシステムにおいて、全体の稼働率を正確に評価することは容易ではありません。特に、コンポーネントが直列に接続されている場合と並列に接続されている場合とでは、全体の稼働率の計算方法が大きく異なります。システム設計者は、これらの構成に応じた計算ロジックを理解し、目標とする稼働率を達成するための適切な設計を行う必要があります。

稼働率の計算と手順

システムの稼働率は、一般に以下の要素を用いて算出されます。

  • MTBF (Mean Time Between Failures)：平均故障間隔。システムが故障してから次に故障するまでの平均時間（稼働時間）。

  • MTTR (Mean Time To Repair)：平均修復時間。システムが故障してから修復が完了し、再び稼働可能になるまでの平均時間（停止時間）。

稼働率 $A$ は、以下の式で表されます。

$A = \frac{\text{MTBF}}{\text{MTBF} + \text{MTTR}}$

1. 直列システムの稼働率

直列システムは、構成するすべてのコンポーネントが正常に動作しなければ、システム全体が稼働しない構成です。一つでもコンポーネントが故障すると、システム全体が停止します。

計算式

各コンポーネントの稼働率を $A_1, A_2, \dots, A_n$ とすると、直列システム全体の稼働率 $A_S$ は以下の積で求められます。

$A_S = A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n$

例

稼働率がそれぞれ $A_A=0.95$、 $A_B=0.90$、 $A_C=0.98$ の3つのコンポーネントが直列に接続されている場合。

$A_S = 0.95 \times 0.90 \times 0.98 = 0.8379$

図示

graph LR
    A["コンポーネントA (RA)"] -- |直列接続| --> B["コンポーネントB (RB)"] -- |直列接続| --> C["コンポーネントC (RC)"]
    subgraph 直列構成 (全て稼働で全体稼働)
        A -- |故障で停止| --> B
        B -- |故障で停止| --> C
    end
    style A fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style B fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#ccf,stroke:#333,stroke-width:2px

2. 並列システムの稼働率

並列システムは、構成するコンポーネントのうち、どれか一つでも正常に動作していれば、システム全体が稼働し続ける構成です。冗長性を提供し、システムの信頼性を向上させます。

計算式

各コンポーネントの稼働率を $A_1, A_2, \dots, A_n$ とすると、並列システム全体の稼働率 $A_P$ は、コンポーネントがすべて故障する確率を全体の確率 $1$ から引くことで求められます。 各コンポーネントの故障率（停止率）は $1 – A_i$ です。

$A_P = 1 – (1 – A_1) \times (1 – A_2) \times \dots \times (1 – A_n)$

例

稼働率がそれぞれ $A_X=0.90$、 $A_Y=0.90$ の2つのコンポーネントが並列に接続されている場合。

$A_P = 1 – (1 – 0.90) \times (1 – 0.90)$ $A_P = 1 – (0.10 \times 0.10)$ $A_P = 1 – 0.01 = 0.99$

図示

graph TD
    start["システム入力"]
    subgraph 並列構成 (どちらか稼働でOK)
        start -- |経路1| --> A["コンポーネントA (RA)"]
        start -- |経路2| --> B["コンポーネントB (RB)"]
    end
    A -- |出力A| --> end["システム出力"]
    B -- |出力B| --> end["システム出力"]

3. 複合システムの稼働率

直列システムと並列システムが組み合わされた複合システムの場合、それぞれの規則に従って段階的に計算します。まず並列部分の稼働率を計算し、次にその結果を直列部分に組み込んで全体の稼働率を求めます。

例

コンポーネントA ($A_A=0.95$) と、コンポーネントB ($A_B=0.90$) とC ($A_C=0.90$) が並列に接続されたグループが直列に接続されている場合。

  1. まず並列グループ (BとC) の稼働率 $A_{BC}$ を計算します。 $A_{BC} = 1 – (1 – A_B) \times (1 – A_C)$ $A_{BC} = 1 – (1 – 0.90) \times (1 – 0.90) = 1 – (0.10 \times 0.10) = 1 – 0.01 = 0.99$

  2. 次に、コンポーネントAと並列グループ (BC) が直列に接続されているとみなして、全体の稼働率 $A_{Total}$ を計算します。 $A_{Total} = A_A \times A_{BC}$ $A_{Total} = 0.95 \times 0.99 = 0.9405$

図示

graph LR
    A["コンポーネントA (RA)"] -- |直列接続| --> B_C_Group("並列グループBC")
    subgraph 並列グループBC("稼働率A_BC")
        B_C_Group -- |経路B| --> B["コンポーネントB (RB)"]
        B_C_Group -- |経路C| --> C["コンポーネントC (RC)"]
    end
    B_C_Group -- |出力| --> end["システム全体"]

要点

  • 稼働率とは、システムが正常に稼働している時間の割合を示す指標です。

  • MTBFとMTTRは稼働率計算の基本要素であり、 $A = \text{MTBF} / (\text{MTBF} + \text{MTTR})$ で算出されます。

  • 直列システムでは、すべてのコンポーネントが稼働しなければ全体は停止するため、各コンポーネントの稼働率の積で全体の稼働率を求めます。

  • 並列システムでは、いずれかのコンポーネントが稼働していれば全体は稼働するため、故障率の積を $1$ から引くことで全体の稼働率を求めます。

  • 複合システムでは、並列部分の稼働率を先に計算し、その結果を直列システムの一部として扱って全体の稼働率を求めます。

  • 2024年7月20日時点のIPA午前Ⅱ試験において、これらの計算ロジックは基礎的な知識として頻繁に出題されます。

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