令和5年度 ネットワークスペシャリスト 午前Ⅱ 問1 通信路容量

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本記事はGeminiの出力をプロンプト工学で整理した業務ドラフト（未検証）です。

令和5年度 ネットワークスペシャリスト 午前Ⅱ 問1 通信路容量

通信路の限界性能を示すシャノンの定理の理解を問う問題です。帯域幅、信号電力、雑音電力の相関関係を数式として把握することが解法の鍵です。

【問題】

帯域幅が $W$ Hz、信号電力が $S$ W、雑音電力が $N$ Wである通信路の通信路容量 $C$ ビット／秒を表す式はどれか。

ア：$C = W \log_2 (1 + S/N)$ イ：$C = 2W \log_2 (1 + S/N)$ ウ：$C = W \log_{10} (1 + S/N)$ エ：$C = \frac{W}{2} \log_2 (1 + S/N)$

【解説】

本問は、情報理論におけるシャノン・ハートレイの公式（Shannon-Hartley theorem）を問う典型的な理論問題です。

この定理は、雑音が存在する通信路において、誤りなしに情報を伝送できる最大の速度（通信路容量）を定義しています。通信路容量 $C$ は、以下の要素に依存します。

  1. 帯域幅 ($W$): 利用可能な周波数の幅。

  2. S/N比 ($S/N$): 信号電力 ($S$) と雑音電力 ($N$) の比率。

公式は以下の通りです。

$$C = W \log_2 \left( 1 + \frac{S}{N} \right)$$

この式から、通信路容量を増やすには「帯域幅を広げる」か「S/N比を向上させる（信号を強くする、または雑音を減らす）」必要があることが数学的に示されます。

graph LR
    A["Bandwidth: W"] --> D["Channel Capacity: C"]
    B["Signal Power: S"] --> C_ratio["S/N Ratio"]
    C_noise["Noise Power: N"] --> C_ratio
    C_ratio --> D

【選択肢の吟味】

選択肢 判定 解説
ア 正解 シャノン・ハートレイの公式の定義通りです。
イ 不正解 係数 $2$ は不要です。ナイキストの定理（$C = 2W \log_2 M$）との混同を狙ったものと考えられます。
ウ 不正解 情報理論における通信容量の単位はビット（bit）であるため、対数の底は $10$ ではなく $2$ を用います。
エ 不正解 帯域幅 $W$ を $2$ で割る数学的根拠はありません。

【ポイント】

  • シャノンの定理：$C = W \log_2(1 + S/N)$ を暗記する。

  • 単位の確認：$C$ は [bps]、$W$ は [Hz]、対数の底は $2$ である。

  • ナイキストの定理との違い：雑音がない場合の理想的な伝送速度（$2W$）と混同しない。

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