平成30年度 ネットワークスペシャリスト試験 午前Ⅱ 問1 シャノンの通信容量

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本記事はGeminiの出力をプロンプト工学で整理した業務ドラフト（未検証）です。

平成30年度 ネットワークスペシャリスト試験 午前Ⅱ 問1 シャノンの通信容量

通信路の帯域幅とSN比から最大伝送速度を求める「シャノンの定理」を用い、対数計算を正確に行う能力を問う計算問題です。

【問題】

帯域幅が 4kHz，SN比が 1,023 である通信路の通信路容量（ビット/秒）は幾らか。ここで，通信路容量 $C$ は，帯域幅を $W$，SN比を $S/N$ とすると，$C = W \log_2(1 + S/N)$ で表されるものとする。

ア 12k イ 20k ウ 32k エ 40k

【解説】

本問題は、通信工学における基礎理論である「シャノン＝ハートレーの定理（Shannon–Hartley theorem）」を直接適用して解きます。この定理は、ノイズ（雑音）が存在する通信路において、理論上達成可能な最大伝送速度を定義したものです。

1. 変数の整理 問題文から与えられた数値を抽出します。

  • 帯域幅 $W = 4 \text{kHz} = 4,000 \text{Hz}$

  • SN比 $S/N = 1,023$

2. 公式への代入 与えられた通信路容量 $C$ の公式に数値を代入します。 $$C = 4,000 \times \log_2(1 + 1,023)$$ $$C = 4,000 \times \log_2(1,024)$$

3. 対数計算 $1,024$ は $2$ の何乗であるかを計算します。$2^{10} = 1,024$ であるため、$\log_2(1,024) = 10$ となります。 $$C = 4,000 \times 10$$ $$C = 40,000 \text{ bps}$$

4. 単位の換算 $40,000 \text{ bps} = 40 \text{k bps}$ となります。

graph LR
    A["帯域幅 W: 4kHz"] --> C["公式: W * log2(\"1 + S/N\")"]
    B["SN比 S/N: 1023"] --> C
    C --> D["1024 = 2^10"]
    D --> E["結果: 40,000 bps"]

【選択肢の吟味】

選択肢 判定 解説
ア 誤り 計算過程で $\log_2(1024)$ を $3$ などと誤認した場合の数値です。
イ 誤り 帯域幅の $4\text{k}$ に $\log_2$ の結果ではなく、他の数値を乗じた際の値です。
ウ 誤り 計算ミス、あるいは $2^5=32$ など累乗の対応を誤った場合に導出される値です。
エ 正解 公式に正確に代入し、$4,000 \times 10 = 40,000$ を導き出しています。

【ポイント】

  • シャノンの定理の公式: $C = W \log_2(1 + S/N)$ を確実に暗記する。

  • 2の累乗の暗記: $2^{10} = 1024$ は情報処理試験において頻出のため、即答できるようにする。

  • 単位の確認: 答えが $\text{bps}$ なのか $\text{kbps}$ なのか、単位の接頭辞に注意する。

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