本記事はGeminiの出力をプロンプト工学で整理した業務ドラフト（未検証）です。

令和5年度 春期 ネットワークスペシャリスト 午前Ⅱ 問1 標本化定理

アナログ信号をデジタル化する際のサンプリング周期を求める問題です。標本化定理に基づき、最高周波数の2倍以上の頻度で抽出する計算が核となります。

【問題】

最大周波数が $f$ Hz のアナログ信号をサンプリングしてデジタル信号に変換する。標本化定理を満足するサンプリング間隔 $T$ 秒を表す式はどれか。

ア　$T < \frac{1}{2f}$ イ　$T \le \frac{1}{2f}$ ウ　$T < \frac{1}{f}$ エ　$T \le \frac{1}{f}$

【解説】

標本化定理（サンプリング定理）とは、アナログ信号をデジタル信号に変換する際、元の信号を完全に復元するために必要なサンプリング周波数の条件を定義した理論です。

1. 標本化周波数の条件 元の信号に含まれる最高周波数を $f$ [Hz] とすると、サンプリング周波数 $f_s$ [Hz] は、その2倍以上である必要があります。 $$f_s \ge 2f$$

2. サンプリング間隔への変換 サンプリング間隔（周期） $T$ [秒] は、サンプリング周波数 $f_s$ の逆数で表されます。 $$f_s = \frac{1}{T}$$

3. 不等式の変形 上記の条件式に $f_s = \frac{1}{T}$ を代入します。 $$\frac{1}{T} \ge 2f$$ これを $T$ について解くと、以下のようになります。 $$1 \ge 2f \cdot T$$ $$T \le \frac{1}{2f}$$

したがって、サンプリング間隔 $T$ は最高周波数の逆数の半分以下である必要があります。

graph LR
    A["アナログ信号: 最大周波数 f"] --> B{"標本化定理"}
    B --> C["サンプリング周波数 fs ≧ 2f"]
    C --> D["サンプリング間隔 T = 1/fs"]
    D --> E["結果: T ≦ 1/2f"]

【選択肢の吟味】

【ポイント】

• 標本化定理：サンプリング周波数は最高周波数の2倍以上必要。

• 周波数と周期の関係：$f = 1/T$ という逆数関係を即座に引き出せるようにする。

• ナイキスト周波数：サンプリング周波数の半分 ($f_s / 2$) のことで、再現可能な上限周波数を指す。