<style_prompt>本記事はGeminiの出力をプロンプト工学で整理した業務ドラフト（未検証）です。
令和5年度 システムアーキテクト 午前Ⅱ 問3 M/M/1待ち行列モデル
本問はM/M/1待ち行列モデルにおける平均応答時間を問う。解法の核は、利用率を算出し、平均応答時間の公式を適用することである。
窓口が1個で、平均サービス時間が5分、平均到着間隔が10分のM/M/1の待ち行列システムがある。このシステムにおける平均応答時間（待ち時間＋サービス時間）は何分か。
ア 5 イ 10 ウ 15 エ 20
【解説】 M/M/1待ち行列モデルにおいて、システム全体の平均応答時間（待ち時間 ＋ サービス時間）を求める手順は以下の通りです。
1. 利用率（$\rho$）の算出
利用率 $\rho$ は、サービス窓口が稼働している時間割合を示し、以下の式で表されます。
$$\rho = \frac{\text{平均サービス時間}}{\text{平均到着間隔}}$$
問題文の値を代入します。
$$\rho = \frac{5}{10} = 0.5$$
2. 平均応答時間（$T$）の算出
平均応答時間 $T$ は、平均サービス時間 $T_s$ と利用率 $\rho$ を用いて以下の公式で求められます。
$$T = \frac{T_s}{1 – \rho}$$
この公式に値を代入します。
$$T = \frac{5}{1 – 0.5} = \frac{5}{0.5} = 10$$
したがって、平均応答時間は10分となります。
flowchart LR
A["顧客の到着平均10分間隔"] --> B("待ち行列")
B --> C("#quot;(窓口サービス時間5分#quot;)")
C --> D["退出平均応答時間10分"]
style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
style C fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px【選択肢の吟味】
| 選択肢 | 判定 | 解説 |
|---|---|---|
| ア | 誤り | 5分は「平均サービス時間」そのものの値であり、他顧客の待ち時間が考慮されていません。 |
| イ | 正解 | 公式から導き出される正しい平均応答時間（10分）です。 |
| ウ | 誤り | 計算ミス、あるいは公式の誤用（例：平均待ち時間と平均応答時間の混同など）による数値です。 |
| エ | 誤り | 到着間隔やサービス時間の比率が異なる場合に生じる数値であり、本問の計算結果とは一致しません。 |
【ポイント】
利用率（$\rho$）：$\rho = \frac{\text{平均サービス時間}}{\text{平均到着間隔}}$ で表され、システムがビジーである確率を指す。
平均応答時間（$T$）：$T = \frac{T_s}{1 – \rho}$ であり、並び始めてからサービスが終了して退店するまでの全時間を指す。
平均待ち時間（$T_q$）：$T_q = \frac{\rho}{1 – \rho} \times T_s$（または $T – T_s$）であり、サービスを受ける前段階の並んでいる時間のみを指す。
