<p><code><style_prompt></code>本記事は<strong>Geminiの出力をプロンプト工学で整理した業務ドラフト（未検証）</strong>です。</p> <h1 class="wp-block-heading">令和5年度 システムアーキテクト 午前Ⅱ 問3 M/M/1待ち行列モデル</h1> <p>本問はM/M/1待ち行列モデルにおける平均応答時間を問う。解法の核は、利用率を算出し、平均応答時間の公式を適用することである。</p> <blockquote class="wp-block-quote is-layout-flow wp-block-quote-is-layout-flow"> <p>窓口が1個で、平均サービス時間が5分、平均到着間隔が10分のM/M/1の待ち行列システムがある。このシステムにおける平均応答時間（待ち時間＋サービス時間）は何分か。</p> <p>ア　5 イ　10 ウ　15 エ　20</p> </blockquote> <p>【解説】 M/M/1待ち行列モデルにおいて、システム全体の平均応答時間（待ち時間 ＋ サービス時間）を求める手順は以下の通りです。</p> <h3 class="wp-block-heading">1. 利用率（$\rho$）の算出</h3> <p>利用率 $\rho$ は、サービス窓口が稼働している時間割合を示し、以下の式で表されます。</p> <p>$$\rho = \frac{\text{平均サービス時間}}{\text{平均到着間隔}}$$</p> <p>問題文の値を代入します。</p> <p>$$\rho = \frac{5}{10} = 0.5$$</p> <h3 class="wp-block-heading">2. 平均応答時間（$T$）の算出</h3> <p>平均応答時間 $T$ は、平均サービス時間 $T_s$ と利用率 $\rho$ を用いて以下の公式で求められます。</p> <p>$$T = \frac{T_s}{1 – \rho}$$</p> <p>この公式に値を代入します。</p> <p>$$T = \frac{5}{1 – 0.5} = \frac{5}{0.5} = 10$$</p> <p>したがって、平均応答時間は10分となります。</p> <div class="wp-block-merpress-mermaidjs diagram-source-mermaid"><pre class="mermaid"> flowchart LR A["顧客の到着<br>平均10分間隔"] --> B("待ち行列") B --> C("(窓口<br>サービス時間5分")) C --> D["退出<br>平均応答時間10分"] style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px style C fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px </pre></div> <p>【選択肢の吟味】</p> <figure class="wp-block-table"><table> <thead> <tr> <th style="text-align:center;">選択肢</th> <th style="text-align:center;">判定</th> <th>解説</th> </tr> </thead> <tbody> <tr> <td style="text-align:center;">ア</td> <td style="text-align:center;">誤り</td> <td>5分は「平均サービス時間」そのものの値であり、他顧客の待ち時間が考慮されていません。</td> </tr> <tr> <td style="text-align:center;">イ</td> <td style="text-align:center;"><strong>正解</strong></td> <td>公式から導き出される正しい平均応答時間（10分）です。</td> </tr> <tr> <td style="text-align:center;">ウ</td> <td style="text-align:center;">誤り</td> <td>計算ミス、あるいは公式の誤用（例：平均待ち時間と平均応答時間の混同など）による数値です。</td> </tr> <tr> <td style="text-align:center;">エ</td> <td style="text-align:center;">誤り</td> <td>到着間隔やサービス時間の比率が異なる場合に生じる数値であり、本問の計算結果とは一致しません。</td> </tr> </tbody> </table></figure> <p>【ポイント】</p> <ul class="wp-block-list"> <li><p><strong>利用率（$\rho$）</strong>：$\rho = \frac{\text{平均サービス時間}}{\text{平均到着間隔}}$ で表され、システムがビジーである確率を指す。</p></li> <li><p><strong>平均応答時間（$T$）</strong>：$T = \frac{T_s}{1 – \rho}$ であり、並び始めてからサービスが終了して退店するまでの全時間を指す。</p></li> <li><p><strong>平均待ち時間（$T_q$）</strong>：$T_q = \frac{\rho}{1 – \rho} \times T_s$（または $T – T_s$）であり、サービスを受ける前段階の並んでいる時間のみを指す。</p></li> </ul>

flowchart LR
    A["顧客の到着
平均10分間隔"] --> B("待ち行列")
    B --> C("(窓口
サービス時間5分"))
    C --> D["退出
平均応答時間10分"]
    style B fill:#f9f,stroke:#333,stroke-width:2px
    style C fill:#bbf,stroke:#333,stroke-width:2px