信頼性工学におけるシステム稼働率の計算手順：MTBF/MTTRと直列・並列システム

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信頼性工学におけるシステム稼働率の計算手順：MTBF/MTTRと直列・並列システム

システムの信頼性を定量的に評価する稼働率 $A$ は、MTBFとMTTRから導出され、システムの接続形態（直列または並列）に応じて全体の値が算出されます。

本記事はGeminiの出力をプロンプト工学で整理した業務ドラフト（未検証）です。

背景：稼働率（Availability, A）の定義

システムの信頼性（Reliability）を評価する指標の一つに稼働率（Availability, A）があります。これは、システムが要求された時点で正常に機能する確率を示すもので、システムの維持管理やサービスレベルアグリーメント（SLA）の達成度を測る上で極めて重要な指標です。

問題点：稼働率の算出に必要な基本パラメータ

稼働率を計算するためには、稼働と非稼働（停止）に関する時間の平均値が必要です。

  1. MTBF (Mean Time Between Failures; 平均故障間隔): システムが正常に稼働し続けている時間の平均。

  2. MTTR (Mean Time To Repair; 平均修復時間): システムが故障してから修理が完了し、再び稼働状態に戻るまでの時間の平均。

これら二つの指標は、システムが故障から復旧するまでのサイクル（MTBF + MTTR）において、実際に稼働している時間（MTBF）の割合を示します。

計算/手順：稼働率の導出とシステム構成別の計算

1. 構成要素単体の稼働率 $A$ の定義

構成要素単体の稼働率 $A$ は、稼働時間（MTBF）と、非稼働時間（MTTR）の合計に対するMTBFの比率として定義されます。

$$ A = \frac{MTBF}{MTBF + MTTR} $$

例: ある部品のMTBFが990時間、MTTRが10時間の場合、 $A = 990 / (990 + 10) = 0.99$ (99%)となります。

2. システム構成に応じた全体稼働率の計算

システム全体の稼働率は、構成要素間の接続形態（直列または並列）によって計算方法が大きく異なります。

(A) 直列システム（非冗長構成）

直列システムでは、システムを構成する全ての要素が正常に動作しなければ、システム全体が停止します。システム全体の稼働率 $R_s$ は、各構成要素の稼働率 $R_i$ の積になります。

$$ R_s = R_1 \times R_2 \times \dots \times R_n = \prod_{i=1}^{n} R_i $$

この方式では、システム全体の信頼性は、構成要素の中で最も信頼性が低い部分の影響を強く受けます。

(B) 並列システム（冗長構成）

並列システム（または冗長構成）では、複数の構成要素のうち、一つでも正常に動作していればシステム全体は稼働し続けます。これにより、直列システムに比べて極めて高い稼働率を達成できます。

この計算では、まず各構成要素が故障する確率（非稼働率）を求めます。構成要素 $i$ の非稼働率 $\bar{R}_i$ は $1 – R_i$ です。

システム全体が故障するのは、「全ての構成要素が同時に故障したとき」のみです。したがって、全体故障率 $\bar{R}_p$ は、各構成要素の非稼働率の積になります。

$$ \bar{R}_p = \bar{R}_1 \times \bar{R}_2 \times \dots \times \bar{R}_n = \prod_{i=1}^{n} (1 – R_i) $$

システム全体の稼働率 $R_p$ は、全体故障率 $\bar{R}_p$ を 1 から引いた値になります。

$$ R_p = 1 – \bar{R}_p = 1 – \prod_{i=1}^{n} (1 – R_i) $$

3. 計算例と構成図

稼働率 $R_A = 0.90$ の部品 A と $R_B = 0.90$ の部品 B を用いたシステムの稼働率を計算します。

構成 計算式 結果 備考
直列 (A & B) $R_s = 0.90 \times 0.90$ $0.81$ (81.0%) 稼働率が低下
並列 (A or B) $R_p = 1 – ((1 – 0.90) \times (1 – 0.90))$ $0.99$ (99.0%) 稼働率が向上 
%% 稼働率計算の構成図
graph TD
    subgraph 構成要素単体の稼働率 A
        MTBF[MTBF] -->|稼働時間| TOTAL(MTBF + MTTR);
        MTTR[MTTR] -->|非稼働時間| TOTAL;
        TOTAL --> A{A = MTBF / TOTAL};
    end

    subgraph システム構成と全体稼働率
        A --> R1[R1];
        A --> R2[R2];

        subgraph 直列システム (Rs)
            R1 -->|AND| RS[Rs = R1 × R2 × ...];
            R2 -->|AND| RS;
        end

        subgraph 並列システム (Rp)
            F1(1-R1) -->|故障の積| F_P[全体の非稼働率: Π(1-Ri)];
            F2(1-R2) -->|故障の積| F_P;
            F_P --> RP{Rp = 1 - F_P};
        end
    end

要点整理

  • 稼働率 $A$: システムの信頼性を定量化する指標であり、故障から復旧までのサイクル時間（MTBF + MTTR）に対するMTBFの比率である。

  • 直列構成: 全ての要素の稼働率の積として計算されるため、要素が増えるほどシステム全体の稼働率は低下する。

  • 並列構成（冗長化）: 非稼働率（故障率 $1-R_i$）の積から全体故障率を求め、それを 1 から引くことでシステム稼働率を算出する。これにより高い信頼性を実現する。

  • 冗長化の目的: 信頼性工学において、高い可用性や障害耐性を得るために並列システム（多重化）を採用する。

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