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本記事はGeminiの出力をプロンプト工学で整理した業務ドラフト（未検証）です。
令和5年度 共通午前Ⅱ 問10 直列システムにおける平均故障間隔（MTBF）の計算
この問題は、直列に接続されたシステムの信頼性を評価するため、個々の構成要素のMTBFからシステム全体のMTBFを計算する手順を問うている。解法の核は、MTBFと故障率が逆数の関係にあること、そして直列システムの故障率は個別の故障率の和になるという原則の適用である。
【問題】
あるシステムは、コンポーネントAとコンポーネントBを直列に接続して構成されている。コンポーネントAの平均故障間隔（MTBF）は 900 時間、コンポーネントBのMTBFは 400 時間である。このシステム全体のMTBFとして、最も適切なものはどれか。ただし、故障率 $\lambda$ は一定とする。
ア: 277時間 イ: 300時間 ウ: 350時間 エ: 400時間
【解説】
直列システム全体のMTBFを求めるには、まず各コンポーネントの故障率を求め、それらを合計してシステム全体の故障率を導出する必要があります。
1. MTBFと故障率の関係
信頼性工学において、平均故障間隔（MTBF: Mean Time Between Failures）と故障率（$\lambda$）は逆数の関係にあります。
$$ \lambda = \frac{1}{MTBF} $$
2. 各コンポーネントの故障率の計算
コンポーネントA ($\lambda_A$) とコンポーネントB ($\lambda_B$) の故障率を計算します。
コンポーネントAの故障率 ($\lambda_A$): $$ \lambda_A = \frac{1}{MTBF_A} = \frac{1}{900} \quad [\text{回}/\text{時間}] $$
コンポーネントBの故障率 ($\lambda_B$): $$ \lambda_B = \frac{1}{MTBF_B} = \frac{1}{400} \quad [\text{回}/\text{時間}] $$
3. 直列システムの故障率の計算
直列システム（両方のコンポーネントが稼働しないとシステム全体が停止する構成）の場合、システム全体の故障率 ($\lambda_{sys}$) は、個々のコンポーネントの故障率の合計となります。
$$ \lambda_{sys} = \lambda_A + \lambda_B $$
$$ \lambda_{sys} = \frac{1}{900} + \frac{1}{400} $$
分母を最小公倍数 3600 に統一します。
$$ \lambda_{sys} = \frac{4}{3600} + \frac{9}{3600} $$
$$ \lambda_{sys} = \frac{13}{3600} \quad [\text{回}/\text{時間}] $$
4. システム全体のMTBFの計算
システム全体のMTBF ($MTBF_{sys}$) は、システム全体の故障率の逆数です。
$$ MTBF_{sys} = \frac{1}{\lambda_{sys}} $$
$$ MTBF_{sys} = \frac{1}{\frac{13}{3600}} = \frac{3600}{13} $$
$$ MTBF_{sys} \approx 276.92 \quad [\text{時間}] $$
この結果を最も近い選択肢と比較すると、277時間となります。
Mermaid図解：直列システム
直列システムは、一つでも故障すると全体が停止する構成です。
graph TD
start("#quot;(始点#quot;)") --> A["A (MTBF=900)"];
A --> B["B (MTBF=400)"];
B --> end_node("#quot;(終点#quot;)");【選択肢の吟味】
| 選択肢 | 判定 | 解説 |
|---|---|---|
| ア | 正 | 計算結果 $3600 / 13 \approx 276.9$ 時間に最も近い値である。直列システムでは、最も信頼性の低い要素（MTBFが短い要素）よりも全体のMTBFはさらに短くなる。 |
| イ | 誤 | 300時間。計算が不正確であるか、直列システムのMTBFが最も短い要素の値に近いと誤解している。 |
| ウ | 誤 | 350時間。誤った計算方法（例えば、MTBFを単に平均したり、並列システムの計算式を誤適用したり）を用いている可能性がある。 |
| エ | 誤 | 400時間。これはコンポーネントBのMTBFであり、全体のMTBFが最も低い要素の値と同じであると誤解している。直列システムでは、全体の信頼性は最も低い要素の信頼性よりもさらに低下する。 |
【ポイント】
故障率とMTBFの逆数関係: 信頼性計算の基本は、故障率 $\lambda$ と平均故障間隔 $MTBF$ が $\lambda = 1/MTBF$ の関係にあることを理解すること。
直列システムの故障率の加算: 直列システムにおいて、システム全体の故障率 $\lambda_{sys}$ は、構成要素の故障率の単純な和 ($\lambda_{sys} = \sum \lambda_i$) となる。
直列システムのMTBFの性質: 複数の要素が直列接続されている場合、システム全体のMTBFは、構成要素の中で最もMTBFが短いものよりも、必ず短くなる。これは、どの要素が故障してもシステム全体が停止するためである。
